/FONT#1=NGB25/FONT#2=BDJ25/FONT#3=BDJ20/FONT#4=GRKL50/FONT#5=GRKL30/FONT#6=BDR40/FONT#7=BDI25/FONT#8=BASL30/FONT#9=BASI30/FONT#10=BASB30/FONT#11=SUP/FONT#12=SUB/FONT#13=MISC25/FONT#14=GRK30/FONT#15=FIX20/TMAR=200/PMAR=1998/BMAR=2
␈↓↓␈↓α␈↓β␈↓∧␈↓¬␈↓ε␈↓π␈↓ ∧0␈β↓H␈↓εRelativistic Systems of Automata
␈↓ α_␈βα⊂␈↓λWe␈α
are␈α
taking␈α
an␈α
idea␈αfrom␈αthe␈αtheory␈αof␈αrelativity␈αand␈αapplying␈αit␈αto␈αsystems␈αof␈αinteracting
␈↓ ↓H␈βα0␈↓λautomata.␈α∂The␈α∂idea␈α∂is␈α∂that␈α∂instead␈α∂of␈α∂having␈α∂a␈α∂single␈α∂time␈α∂variable␈α∂of␈α∂which␈α∂the␈α∂state␈α∂at␈α∂every
␈↓ ↓H␈βαP␈↓λposition␈α∪in␈α∪space␈α∪is␈α∪a␈α∪function,␈α∪each␈α∪body␈α∪has␈α∪its␈α∪own␈↓	␈α∪local␈α∪time␈↓λ␈α∩and␈α∩there␈α∩is␈α∩no␈α∩notion␈α∩of
␈↓ ↓H␈βαp␈↓λsimultaneity␈αfor␈αevents␈αseparated␈αin␈αspace.␈αThe␈αfollowing␈αnotion␈αdoes␈αnot␈αdepend␈αon␈αunderstanding
␈↓ ↓H␈ββ⊂␈↓λanything␈αabout␈αrelativity␈αtheory,␈αand␈αafter␈αwe␈αhave␈αexplained␈αit␈αwe␈αwill␈αsay␈αwhat␈αit␈αmight␈αbe␈αgood
␈↓ ↓H␈ββ0␈↓λfor.
␈↓ α_␈ββp␈↓λWe␈αstart␈αwith␈αa␈αcollection␈αof␈αentities␈↓
␈αA␈↓i␈↓λ␈αwhich␈αare␈αthe␈αautomata␈αof␈αthe␈αsystem.␈αEach␈↓
␈αA␈↓i␈↓λ␈αhas␈αa
␈↓ ↓H␈β∧⊂␈↓λset␈↓
␈αstates␈α
(A␈↓i␈↓
)␈↓λ␈α
which␈α
is␈α
the␈α
set␈α
of␈α
its␈α
possible␈α
states.␈α
Another␈α
set␈α
associated␈α
with␈↓
␈α
A␈↓i␈↓λ␈α
is␈↓
␈α
times␈α
(A␈↓i␈↓
)␈↓λ␈α
which
␈↓ ↓H␈β∧0␈↓λhas␈α
a␈α
partial␈α
ordering␈α
for␈α
which␈α
<␈α
is␈αused.␈αA␈αstate␈αhistory␈αof␈αan␈αautomation␈αA␈↓i␈↓λ␈αis␈αa␈αmap.␈αStatehis:
␈↓ ↓H␈β∧P␈↓λtimes(A␈↓i␈↓λ)→states(A␈↓i␈↓λ).␈α⊃(In␈α⊃the␈α⊃usual␈↓
␈α⊂non-relativistic␈↓λ␈α⊂automata␈α⊂theory,␈α⊂each␈↓
␈α⊂times␈α⊂(A␈↓i␈↓
)␈↓λ␈α⊂is␈α⊂the␈α⊂set␈α⊂of
␈↓ ↓H␈β∧p␈↓λintegers␈α⊃and␈α⊃there␈α⊃is␈α⊂a␈α⊂distinguished␈α⊂isomorphism␈α⊂between␈↓
␈α⊂times␈α⊂(A␈↓i␈↓
)␈↓λ␈α⊂and␈α⊂a␈α⊂univeral␈α⊂set␈↓
␈α⊂times
␈↓ ↓H␈β¬⊂␈↓λisomorphic␈αto␈αthe␈αintegers.)␈αThere␈αare␈αtwo␈αmain␈αcases␈αof␈αinterest␈αfor␈↓
␈αtimes␈α(A␈↓i␈↓
)␈↓λ,␈αnamely␈αthe␈αintegers
␈↓ ↓H␈β¬0␈↓λand␈αthe␈αreal␈αnumbers.␈αSome␈αsubautomata␈αof␈αa␈α
system␈α
may␈α
have␈α
integer␈α
times␈α
while␈α
others␈α
may␈α
have
␈↓ ↓H␈β¬P␈↓λreal␈αtimes.␈αEven␈αif␈αboth␈αhave␈α
integer␈α
times␈α
they␈α
may␈α
not␈α
correspond␈α
in␈α
a␈α
simple␈α
way␈α
-␈α
one␈α
clock␈α
may
␈↓ ↓H␈β¬p␈↓λtick␈αevery␈αsecond␈αat␈αWWV␈αin␈αBoulder␈α
Colorado␈α
and␈α
the␈α
other␈α
may␈α
tick␈α
once␈α
a␈α
school␈α
day␈α
in␈α
Rio␈α
de
␈↓ ↓H␈βε⊂␈↓λJaneiro.
␈↓ α_␈βεP␈↓λIn␈α∩the␈α∩examples␈α∩we␈α⊃have␈α⊃given,␈α⊃the␈α⊃ordering␈α⊃is␈α⊃total,␈α⊃but␈α⊃you␈α⊃will␈α⊃see␈α⊃that␈α⊃a␈α⊃system␈α⊃of
␈↓ ↓H␈βεp␈↓λautomata␈α∞can␈α∞best␈α∞be␈α∞regarded␈α∞as␈α∞having␈α∞partial␈α
ordered␈α
time␈α
even␈α
though␈α
its␈α
subautomata␈α
have
␈↓ ↓H␈βπ⊂␈↓λtotal␈α↔ordered␈α↔times.␈α↔Therefore,␈α↔if␈α⊗we␈α⊗want␈α⊗to␈α⊗take␈α⊗systems␈α⊗of␈α⊗automata␈α⊗as␈α⊗the␈α⊗constituent
␈↓ ↓H␈βπ0␈↓λsubautomata␈α
of␈α
yet␈α
bigger␈α
systems,␈α
the␈α
basic␈α
construction␈α
should␈α
use␈α
partial␈α
ordering.
␈↓ α_␈βπp␈↓λBesides␈α⊂the␈α⊂sets␈↓
␈α⊂states(A␈↓i␈↓
)␈↓λ␈α⊂and␈↓
␈α⊂times(A␈↓i␈↓
)␈↓λ,␈α⊂we␈α⊂also␈α⊂have␈α⊂the␈α⊂sets␈↓
␈α⊂inputs(A␈↓i␈↓
)␈α∂and␈α∂outputs(A␈↓i␈↓
)
␈↓ ↓H␈βλ⊂␈↓λwhich␈α⊃give␈α⊃the␈α⊃possible␈α⊃values␈α⊃of␈α⊃inputs␈α⊃and␈α⊃outputs.␈α⊃An␈α⊃input␈α⊃history␈α⊃of␈α⊃A␈↓i␈↓λ␈α⊃is␈α⊂a␈α⊂map␈α⊂inhis:
␈↓ ↓H␈βλ0␈↓λtimes(A␈↓i␈↓λ)→inputs(A␈↓i␈↓λ)␈αand␈αan␈αoutput␈αhistory␈αis␈αa␈αmap␈αouthis:␈αtimes(A␈↓i␈↓λ)␈α→outputs(A␈↓i␈↓λ).␈αIf␈αwe␈αneed␈αit,␈αwe
␈↓ ↓H␈βλP␈↓λcan␈α
use␈α
the␈α
concept␈α
of␈α
a␈↓
␈α
history␈↓λ␈α
of␈↓
␈α
A␈↓i␈↓λ␈α
which␈α
is␈α
a␈α
map
␈↓ αw␈β	⊂␈↓
hist: times(A␈↓i␈↓
)→inputs(A␈↓i␈↓
)⊗states(A␈↓i␈↓
)⊗outputs(A␈↓i␈↓
)
␈↓ ↓H␈β	P␈↓λLet␈↓
␈αInhis(A␈↓i␈↓
),␈α
Statehis(A␈↓i␈↓
),␈α
Outhis(A␈↓i␈↓
)␈↓λ␈α
and␈↓
␈α
His(A␈↓i␈↓
)␈↓λ␈α
(written␈α
with␈α
initial␈α
caps)␈α
be␈α
the␈α
sets␈α
of␈α
all␈α
possible
␈↓ ↓H␈β	p␈↓λinput␈α
histories,␈α
state␈α
histories,␈α
output␈α
histories,␈α
and␈α
histories.
␈↓ α_␈β
0␈↓λThe␈αlaw␈αof␈αmotion␈αof␈αan␈α
automaton␈α
gives␈α
the␈α
state␈α
at␈α
any␈α
local␈α
time␈α
as␈α
a␈α
function␈α
of␈α
the␈α
input
␈↓ ↓H␈β
P␈↓λhistory␈αand␈αthe␈αstate␈αhistory.␈αWe␈αimpose␈αthe␈αfurther␈αcondition␈αthat␈αthe␈αstate␈αat␈αa␈αgiven␈αtime␈αdepend
␈↓ ↓H␈β
p␈↓λonly␈α
on␈α
the␈α
past␈α
of␈α
the␈α
state␈α
and␈α
the␈α
input.␈α
If␈α
the␈α
local␈α
time␈α
is␈α
taken␈α
as␈α
an␈α
integer,␈α
then␈α
the␈αmost
␈↓ ↓H␈β⊂␈↓λimportant␈α∪case␈α∪is␈α∩when␈α∩the␈α∩state␈α∩depends␈α∩only␈α∩on␈α∩the␈α∩immediately␈α∩preceding␈α∩state␈α∩and␈α∩input.
␈↓ ↓H␈β0␈↓λMoreover,␈α∂the␈α∂general␈α∂case␈α∂of␈α∂integer␈α∂time␈α∂can␈α∂be␈α∂reduced␈α∂to␈α∞the␈α∞case␈α∞of␈α∞depending␈α∞only␈α∞on␈α∞the
␈↓ ↓H␈βP␈↓λimmediately␈α∂preceding␈α∂time␈α∂by␈α∂replacing␈α∂the␈α∂automaton␈α∂A␈↓i␈↓λ␈α∂by␈α∂an␈α∂automaton␈α∂A'␈↓␈αzi␈↓λ␈α∞whose␈α∞states␈α∞are
␈↓ ↓H␈βp␈↓λcomplete␈α∂pasts␈α∞of␈α∞the␈α∞states␈α∞of␈α∞A␈↓i␈↓λ.␈α∞While␈α∞this␈α∞reduction␈α∞is␈α∞conceptually␈α∞always␈α∞possible,␈α∞it␈α∞may␈α∞be
␈↓ ↓H␈β⊂␈↓λcomputationally␈α
simpler␈α
not␈α
to␈α
do␈α
it␈α
in␈α
a␈α
particular␈α
case␈α
(if␈α
we␈α
ever␈α
get␈α
to␈α
a␈α
particular␈α
case).
␈↓ α_␈βP␈↓λWhen␈α
we␈α
have␈α
a␈α
continuous␈α
time␈α
and␈α
the␈α
state␈α
is␈α
given␈α
by␈α
a␈α
real␈αvariable␈αor␈αvector␈αof␈αreal
␈↓ ↓H␈βp␈↓λvariables,␈α
then␈α
a␈α
main␈α
case␈α
of␈α
interest␈α
is␈α
when␈α
we␈α
have␈α
a␈α
differential␈α
equation
␈↓ ↓H␈β
)␈↓
␈↓λd state
␈↓ α≤␈β
:␈↓λ = F(state,input,t)
␈∧
H↓HαS␈↓ ↓e␈β
L␈↓
␈↓λdt
␈↓ ↓H␈β∞∪␈↓λ(In␈αorder␈αto␈αbe␈αsure␈αonly␈αthe␈αpast␈αis␈αinvolved␈αyou␈αcould␈αspecify␈αa␈αleft␈αhand␈αderivative,␈αbut␈αit␈αwon't
␈↓ ↓H␈β∞3␈↓λmatter␈α
if␈α
all␈α
the␈α
functions␈α
are␈α
smooth␈α
enough.)
␈↓ α_␈β∞s␈↓λThe␈αoutput␈αlaw␈αof␈αan␈αautomaton␈αgives␈αthe␈α
output␈α
as␈α
a␈α
function␈α
of␈α
the␈α
state.␈α
(Something␈α
might
␈↓ ↓H␈β∂∪␈↓λbe␈αgained␈αby␈αletting␈αthe␈αoutput␈αdepend␈αon␈αthe␈αpasts␈αof␈α
the␈α
state␈α
and␈α
input␈α
if␈α
it␈α
is␈α
computationally␈α
or
␈↓ ↓H␈β∂3␈↓λmathematically␈α
convenient␈α
in␈α
a␈α
particular␈α
case.)
␈↓ f␈βg␈↓λ2
␈↓ α_␈β↓h␈↓λThe␈α⊂interaction␈α⊂between␈α⊂automata␈α⊂is␈α⊂specified␈α⊂by␈α⊂a␈α∂law␈α∂which␈α∂gives␈α∂the␈α∂input␈α∂of␈α∂A␈↓i␈↓λ␈α∂as␈α∂a
␈↓ ↓H␈βαλ␈↓λfunction␈αof␈αthe␈αoutput␈αhistories␈αof␈αall␈αthe␈αautomata␈αsubject␈αto␈αa␈αcausality␈αcondition.␈αThe␈αidea␈αof␈αthe
␈↓ ↓H␈βα(␈↓λcausality␈αcondition␈αis␈αagain␈αto␈αallow␈αthe␈αstate␈αto␈αdepend␈α
only␈α
on␈α
the␈α
past,␈α
but␈α
since␈α
we␈α
do␈α
not␈α
have␈α
a
␈↓ ↓H␈βαH␈↓λcorrespondence␈α
between␈α
the␈α
times␈α
of␈α
the␈α
different␈α
automata,␈α
we␈α
proceed␈α
as␈α
follows:
␈↓ α_␈ββπ␈↓λForm␈αthe␈α
disjoint␈α
union␈α
of␈α
all␈α
the␈α
local␈α
time␈α
spaces␈α
and␈α
take␈α
a␈α
partial␈α
ordering␈↓
␈α
<␈↓λ␈α
on␈α
that␈α
space
␈↓ ↓H␈ββ'␈↓λconsistent␈αwith␈αthe␈αlocal␈αorderings␈αof␈αlocal␈αtimer,␈αi.e.␈αif␈↓
␈α
t␈↓i␈↓
␈α
ε␈α
times␈α
(A␈↓i␈↓
)␈↓λ␈α
and␈↓
␈α
t␈↓λ'␈↓␈αzi␈↓
␈α
ε␈α
times␈α
(A␈↓i␈↓
)␈↓λ,␈α
then␈↓
␈α
t␈↓i␈↓
␈α
<␈↓
␈α
t␈↓λ'␈↓␈αzi␈↓∂␈↓#¬␈α
≡␈↓#
␈↓ ↓H␈ββG␈↓
t␈↓i␈↓
␈α<␈αt␈↓λ'␈↓␈αzi␈↓λ.␈αThis␈αcan␈αbe␈αdone␈αtrivially␈αby␈αtaking␈αt␈↓
␈α<␈↓λ␈αt'␈α¬if␈αand␈αonly␈αif␈α
t␈α
and␈α
t'␈α∧are␈α
in␈α
the␈α
same␈α
times␈α
(A␈↓i␈↓λ)␈α
and
␈↓ ↓H␈ββh␈↓λt␈α
<␈α
t'␈αz,␈α
but␈α
in␈α
the␈α
trivial␈α
case␈α
the␈α
automata␈α
won't␈α
interact.
␈↓ α_␈β∧(␈↓λWe␈αnow␈αrequire␈αthat␈αfor␈αany␈αt␈↓	␈αε␈↓λ␈αtimes␈α(A␈↓i␈↓λ),␈αinput␈↓␈αi␈↓λ(t)␈αdepend␈αonly␈αon␈αoutput␈↓j␈↓λ(T)␈αfor␈αvalues␈αT
␈↓ ↓H␈β∧G␈↓λsatisfying␈α
T␈↓
<␈↓λt.
␈↓ α_␈β¬λ␈↓λIn␈αthe␈αinteger␈αtime␈α
non-relativistic␈α
case,␈α
the␈α
correspondence␈α
between␈α
the␈α
local␈α
times␈α
reduces␈α
the
␈↓ ↓H␈β¬'␈↓λordering␈↓
␈α⊂<␈↓λ␈α⊂to␈α⊂the␈α⊂ordering␈α⊂<,␈α⊂and␈α⊂instead␈α⊂of␈α⊂letting␈α⊂input␈↓i␈↓λ(t␈↓i␈↓λ)␈α⊂depend␈α⊂on␈α⊂the␈α⊂entire␈α∂pasts␈α∂of␈α∂the
␈↓ ↓H␈β¬H␈↓λoutputs␈α
of␈α
the␈α
automata,␈α
it␈α
depends␈α
only␈α
on␈α
the␈α
outputs␈α
at␈α
the␈α
immediately␈α
preceding␈α
time.
␈↓ α_␈βελ␈↓λWe␈α⊂can␈α⊂express␈α⊂this␈↓	␈α⊂immediacy␈↓λ␈α⊂condition␈α∂in␈α∂the␈α∂relativistic␈α∂case␈α∂by␈α∂introducing␈α∂a␈α∂function
␈↓ ↓H␈βε#␈↓∞J␈↓ij␈↓λ(t␈↓i␈↓λ)␈α∂and␈α∂requiring␈α∂that␈α∂input␈↓i␈↓λ(t␈↓i␈↓λ)␈α∂depend␈α∂precisely␈α∂on␈α∂the␈α∂output␈↓j␈↓λ(␈↓∞J␈↓ij␈↓λ(t␈↓i␈↓λ))␈α∂for␈α∂all␈α∂j's.␈α∂The␈α∂function
␈↓ ↓H␈βεE␈↓∞J␈↓ij␈↓λ(t␈↓i␈↓λ)␈α∂can␈α∂be␈α∂used␈α∂to␈α∂determine␈α∂the␈α∂partial␈α∞ordering␈↓
␈α∞<␈↓λ,␈α∞and␈α∞any␈↓∞␈α∞J␈↓ij␈↓λ␈α∞will␈α∞do␈α∞provided␈α∞it␈α∞allows␈α∞no
␈↓ ↓H␈βεj␈↓λcycles␈α
whereby␈α
the␈α
future␈α
or␈α
the␈α
present␈α
of␈α
an␈α
automaton␈α
can␈α
affect␈α
its␈α
present.
␈↓ α_␈βπ*␈↓λThe␈α
formalism␈α
includes␈α
partial␈α
differential␈α
equations␈α
of␈α
the␈α
sort␈α
where
␈↓ β]␈βλβ␈↓
␈↓λ∂␈↓2␈↓λf
␈↓ ↓H␈↓
␈↓λ∂u␈↓ αj␈↓
␈↓λ∂f␈↓ β#␈βλ	␈↓
␈↓λ∂f
␈↓ ∧λ␈↓λ , etc).␈↓ β@␈↓λ , ␈↓ βλ␈↓λ , ␈↓ α(␈↓λx, y, ␈↓ ↓i␈βλ~␈↓λ = F(
␈∧λ(↓Hα ␈∧λ(αgα ␈∧λ(β"α≥␈∧λ(βZα-␈↓ ↓L␈↓
␈↓λ∂t␈↓ αg␈↓
␈↓λ∂x␈↓ β"␈βλ,␈↓
␈↓λ∂y
␈↓ βZ␈βλ,␈↓
␈↓λ∂x␈↓2␈↓λ
␈↓ ↓H␈βλy␈↓λWe␈α
then␈α
have␈α
to␈α
attach␈α
an␈α
automaton␈α
to␈α
each␈α
point␈α
of␈α
space.␈α
(The␈α
physics␈α
minded␈α
reader␈αshould
␈↓ ↓H␈β	→␈↓λimagine␈αMaxwell's␈αequations␈αconsidered␈αthis␈αway,␈αbut␈αmay␈αfind␈αhimself␈αdiscouraged␈αby␈αthe␈α
fact␈α
that
␈↓ ↓H␈β	9␈↓λthe␈αautomata␈αdon't␈αretain␈αtheir␈αidentity␈αunder␈αLorentz␈αtransformations.␈αClearly,␈αthis␈αis␈αsomething␈αto
␈↓ ↓H␈β	Y␈↓λworry␈α
about␈α
in␈α
the␈α
general␈α
relativistic␈α
theory␈α
of␈α
automata).
␈↓ ↓H␈β
→␈↓λEquivalence␈α
of␈α
automaton␈α
systems
␈↓ α_␈β
T␈↓λLet␈αA␈αand␈αB␈αbe␈αautomaton␈αsystems.␈αSuppose␈αthere␈αis␈αa␈α1-1␈αmap␈↓∞␈αJ␈↓λ␈αof␈αthe␈αset␈αH(A)␈α
of␈α
histories
␈↓ ↓H␈β
t␈↓λof␈αA␈αonto␈αH(B)␈αsatisfying␈αthe␈αfollowing␈αcausality␈αcondition:␈αthere␈αare␈αfunctions␈↓∞␈αJ␈↓ij␈↓λ(t␈↓i␈↓λ)␈α
and␈↓∞␈α
Y␈↓ji␈↓λ(t␈↓i␈↓λ)␈α
such
␈↓ ↓H␈β⊗␈↓λthat␈αthe␈αstate␈αof␈αA␈↓i␈↓λ␈αat␈αlocal␈αtime␈αt␈↓i␈↓λ␈αdepends␈α
only␈α
on␈α
the␈α
states␈α
of␈α
B␈↓j␈↓λ's␈α
at␈α
times␈α
preceding␈↓∞␈α
J␈↓ij␈↓λ(t␈↓i␈↓λ)␈α
and␈α
the
␈↓ ↓H␈β8␈↓λstate␈αof␈αB␈↓j␈↓λ␈αat␈αlocal␈αtime␈α
t␈↓j␈↓λ␈α
depends␈α
only␈α
on␈α
the␈α
states␈α
of␈α
the␈α
A␈↓j␈↓λ's␈α
at␈α
times␈α
preceding␈↓∞␈α
Y␈↓ji␈↓λ(t␈↓i␈↓λ).␈α
The␈α
case␈α
in
␈↓ ↓H␈βZ␈↓λwhich␈αthe␈αstate␈αof␈αA␈↓i␈↓λ␈αat␈αtime␈αt␈↓i␈↓λ␈αdepends␈αon␈αthe␈α
states␈α
of␈α
the␈α
B␈↓j␈↓λ's␈α
at␈α
the␈α
times␈↓∞␈α
J␈↓λ'␈↓␈αz2j␈↓λ(t␈↓i␈↓λ)␈α
only␈α
and␈α
the␈α
state
␈↓ ↓H␈β|␈↓λB␈↓j␈↓λ␈α
at␈α
time␈α
t␈↓j␈↓λ␈α
depends␈α
on␈α
the␈α
states␈α
of␈α
the␈α
A␈↓i␈↓λ's␈α
at␈α
the␈α
times␈↓∞␈α
Y␈↓λ'␈↓␈αzji␈↓λ(t␈↓j␈↓λ)␈α
only␈α
will␈αbe␈αcalled␈αthe␈αimmediate
␈↓ ↓H␈β!␈↓λcase.
␈↓ α_␈βa␈↓λWhen␈αtwo␈αautomaton␈αsystems␈αcorrespond␈αin␈αthis␈αway␈αwe␈αshall␈αcall␈αthem␈αequivalent.␈αNote␈αthat
␈↓ ↓H␈β
↓␈↓λthere␈αneed␈αbe␈αno␈αcorrespondence␈αbetween␈αthe␈αsubautomata␈αof␈αone␈αsystem␈αand␈αthose␈αof␈αthe␈αother.␈α(If
␈↓ ↓H␈β
!␈↓λwe␈α→regard␈α→Maxwell's␈α_equations␈α_in␈α_two␈α_different␈α_co-ordinate␈α_systems␈α_related␈α_by␈α_a␈α_Lorentz
␈↓ ↓H␈β
A␈↓λtransformation␈α
defining␈α
automaton␈α
systems,␈α
the␈α
systems␈α
will␈α
be␈α
equivalent.)
␈↓ ↓H␈β∞!␈↓λSpace-like␈α
surfaces
␈↓ α_␈β∞a␈↓λA␈α∂space-like␈α∂surface␈α∂S␈α∂is␈α∂an␈α∞assignment␈α∞T␈↓i␈↓λ␈α∞of␈α∞local␈α∞times␈α∞to␈α∞the␈α∞automata␈α∞A␈↓i␈↓λ␈α∞such␈α∞that␈α∞the
␈↓ ↓H␈β∂↓␈↓λvalue␈αof␈αstate␈↓i␈↓λ(T␈↓i␈↓λ)␈αdepends␈αonly␈αon␈αvalues␈αof␈αthe␈αstates␈αof␈αthe␈αother␈αautomatia␈αA␈↓j␈↓λ␈αfor␈αtimes␈αprior␈αto
␈↓ ↓H␈β∂!␈↓λT␈↓j␈↓λ.␈αIn␈αthe␈αrelativity␈αcase,␈αan␈αassignment␈αof␈αvalues␈αof␈αa␈αfield␈αon␈αa␈αspacelike␈α
surface␈α
allows␈α
the␈α
field␈α
to
␈↓ f␈βg␈↓λ3
␈↓ ↓H␈β↓H␈↓λbe␈α∞determined␈α∞for␈α∞future␈α∞times.␈α∞In␈α∞the␈α∞automaton␈α∞case␈α∞the␈α∞situation␈α
is␈α
more␈α
complicated;␈α
we␈α
must
␈↓ ↓H␈β↓h␈↓λalso␈α⊃specify␈α⊃any␈α⊃outputs␈α⊃that␈α⊃may␈α⊃be␈α⊃required␈α⊂for␈α⊂continuation,␈α⊂and␈α⊂the␈α⊂times␈α⊂for␈α⊂which␈α⊂those
␈↓ ↓H␈βαλ␈↓λoutputs␈αare␈αrequired␈αmay␈αgo␈αarbitrarily␈αfar␈αback␈αin␈αthe␈αlocal␈αtimes␈αof␈αthe␈αautomata.␈α
Obviously␈α
some
␈↓ ↓H␈βα(␈↓λrestrictions␈α
on␈α
the␈α
times␈α
for␈α
which␈α
outputs␈α
are␈α
required␈α
would␈α
make␈α
computation␈α
simpler.
␈↓ ↓H␈βαh␈↓λAn␈α
example
␈↓ α_␈ββ(␈↓λShe␈αand␈αhe␈αare␈αlovers␈αby␈α
correspondence.␈α
She␈α
write␈α
to␈α
him␈α
every␈α
day,␈α
but␈α
he␈α
receives␈α
the␈α
mail
␈↓ ↓H␈ββH␈↓λand␈α∪writes␈α∪a␈α∪letter␈α∪only␈α∪on␈α∪Saturday.␈α∪The␈α∪letter␈α∪he␈α∩writes␈α∩on␈α∩Saturday␈α∩arrives␈α∩the␈α∩following
␈↓ ↓H␈ββh␈↓λThursday␈α
morning␈α
and␈α
the␈α
letters␈α
she␈α
writes␈α
by␈α
Tuesday␈αarrive␈αSaturday␈αmorning␈αbut␈αsubsequent
␈↓ ↓H␈β∧λ␈↓λletters␈αarrive␈αonly␈αthe␈αfollowing␈α
Saturday.␈α
Her␈α
love␈α
for␈α
him␈α
and␈α
his␈α
love␈α
for␈α
her␈α
are␈α
each␈α
given␈α
by␈α
a
␈↓ ↓H␈β∧(␈↓λnon-negative␈α∞integer.␈α∞In␈α
each␈α
letter␈α
he␈α
transmits␈α
his␈α
love␈α
for␈α
her␈α
and␈α
she␈α
her␈α
love␈α
for␈α
him␈α
except
␈↓ ↓H␈β∧H␈↓λthat␈α⊂if␈α⊂his␈α⊂love␈α⊂is␈α⊂greater␈α⊂than␈α⊂100,␈α⊂he␈α⊂also␈α⊂transmits␈α⊂a␈α∂proposal␈α∂of␈α∂marriage.␈α∂If␈α∂she␈α∂receives␈α∂a
␈↓ ↓H␈β∧h␈↓λproposal␈αshe␈αaccepts␈αit␈αif␈αher␈αlove␈αis␈αgreater␈αthan␈α100␈αand␈αdeclines␈α
it␈α
otherwise.␈α
The␈α
game␈α
ends␈α
with
␈↓ ↓H␈β¬λ␈↓λan␈α
accepted␈α
proposal␈α
or␈α
if␈α
both␈α
loves␈α
reach␈α
0.␈α
Her␈α
love␈α
declines␈α
by␈α
one␈α
unit␈α
each␈α
day␈α
she␈α
doesn't
␈↓ ↓H␈β¬(␈↓λreceive␈α
a␈α
letter.␈α
When␈α
she␈α
receives␈α
a␈α
letter␈α
her␈α
love␈α
is␈α
increased␈α
by
␈↓ ↓\␈β¬a␈↓
␈↓∂m
␈↓ ↓h␈↓λ ]␈↓ ↓H␈β¬i␈↓λ[ 
␈∧¬w↓\α␈↓ ↓\␈β¬{␈↓
␈↓∂2
␈↓ ↓H␈βε→␈↓λwhere␈α
m␈α
is␈α
the␈α
amount␈α
of␈α
love␈αin␈αthe␈αletter␈αunless␈αthe␈αletter␈αcontains␈αa␈αproposal␈αin␈αwhich␈αcase␈αher
␈↓ ↓H␈βε9␈↓λlove␈α
is␈α
doubled.␈α
His␈α
love␈α
is
␈↓ α∪␈βεr␈↓
␈↓∂1
␈∧εtαXαλ␈↓ αa␈↓λ - 50r],0)␈↓ α∨␈↓λm + ␈↓ ↓H␈↓λmax([␈↓ αX␈βεz␈↓λ␈↓	l
␈∧πλα∪α␈↓ α∪␈βπ␈↓
␈↓∂2
␈↓ ↓H␈βπ≠␈↓λwhere␈αm␈αis␈αhis␈αlove␈αof␈αthe␈αpreceding␈αweek,␈↓	␈αl␈↓λ␈↓#⊗␈αw-␈↓#␈αis␈αthe␈αaverage␈αlove␈αin␈αthe␈αletters␈αhe␈αreceives␈αand␈αr␈αis␈α1
␈↓ ↓H␈βπQ␈↓λif␈αa␈αletter␈αcontains␈αa␈αrejection␈αof␈αa␈αproposal␈αand␈α0␈αotherwise.␈αInitially␈αwhe␈αdoesn't␈αlove␈αhim,␈αbut␈αhe
␈↓ ↓H␈βπq␈↓λsees␈α∞her␈α∞picture␈α∞which␈α∞inspires␈α
an␈α
amount␈α
of␈α
love␈α
m␈↓o␈↓λ␈α
and␈α
the␈α
romance␈α
starts.␈α
What␈α
values␈α
of␈α
m␈↓o
␈↓ ↓H␈βλ⊃␈↓λlead␈α
to␈α
marriage?
␈↓ α_␈βλQ␈↓λHis␈αlocal␈αtime␈αis␈αmeasured␈αin␈αweeks␈αand␈αhers␈αin␈αdays.␈αIf␈αwe␈αstart␈αher␈αlocal␈αtime␈αat␈αT=0␈αon␈αthe
␈↓ ↓H␈βλq␈↓λThursday␈αshe␈αreceives␈αhis␈αfirst␈αletter␈αand␈αhis␈αat␈αt=0␈αwhen␈αhe␈αsends␈αhis␈αfirst␈α
letter,␈α
then␈α
the␈α
course␈α
of
␈↓ ↓H␈β	⊃␈↓λthe␈α
affair␈α
is␈α
described␈α
by␈α
the␈α
equations
␈↓ ↓H␈β	Q␈↓λ1)␈↓ α_m(t) = ␈↓
if␈↓λ t=0 ␈↓
 then ␈↓λm␈↓o␈↓
 else
␈↓ α(␈↓
␈↓∂1␈↓ β ␈β	n␈↓
␈↓∂1
␈↓ β,␈↓λ␈↓	l␈↓λ(7t-9) + ␈↓	l␈↓λ(7t-10) + ...␈↓ α4␈↓λm(t-1) + ␈↓ ↓H␈β	v␈↓λmax(0,[
␈∧
∧α(α␈∧
∧β α␈↓ α(␈↓
␈↓∂2␈↓ β ␈β
λ␈↓
␈↓∂7
␈↓ ↓H␈β
↔␈↓λ + ␈↓	l␈↓λ(7t-15)) + (␈↓
if␈↓λ r(t7-14)=1 ␈↓
then␈↓λ -50 ␈↓
else␈↓λ 0)]),
␈↓ ↓H␈β
}␈↓λ2)␈↓ α_p(t) = ␈↓
if␈↓λ m(t) > 100 ␈↓
then␈↓λ 1 ␈↓
else␈↓λ 0,
␈↓ ↓H␈β>␈↓λ3)␈↓	␈↓ α_l␈↓λ(T) = ␈↓
if␈↓λ 7|T ␈↓
then␈↓λ 
␈↓ α	␈↓
␈↓∂T␈↓ ¬∧␈↓
␈↓∂1␈↓ ¬1␈βW␈↓
␈↓∂T
␈↓ ¬=␈↓λ)])␈↓ ¬⊂␈↓λm(␈↓ ∧z␈↓λ[␈↓ α∃␈↓λ)=␈↓
then␈↓λ 2␈↓	l␈↓λ(T-1) ␈↓
else␈↓λ ␈↓	l␈↓λ(T-1) + ␈↓ ↓H␈β←␈↓λ(␈↓λif␈↓λ p(
␈∧mα	α␈∧m¬∧α␈∧m¬1α␈↓ α	␈↓
␈↓∂7␈↓ ¬∧␈↓
␈↓∂2␈↓ ¬1␈βq␈↓
␈↓∂7
␈↓ ↓H␈β␈↓λ␈↓
else␈↓λ max(0, ␈↓	l␈↓λ(T-1)-1),
␈↓ ↓H␈βg␈↓λand
␈↓ βF␈β
 ␈↓
␈↓∂T
␈↓ βR␈↓λ) ∧ ␈↓	l␈↓λ(T) ≤ 100 ␈↓
then␈↓λ 1 ␈↓
else␈↓λ 0.␈↓ ↓`␈↓λr(T) = ␈↓
if␈↓λ 7|T ∧ p(␈↓ ↓H␈β
(␈↓λ4)
␈∧
6βFα␈↓ βF␈β
:␈↓
␈↓∂7